電気設備技術 File No.2018-0813

熱動継電器の素子数と電動機保護について … の補足説明です。

(1) 三相誘導電動機の欠相電流
三菱電機「電磁開閉器 MS-Nシリーズ技術資料集」 Web ページ（p98）に 4. 三相電動機の欠相事故に対する保護に欠相時の電流の記述があります。
URL: http://dl.mitsubishielectric.co.jp/dl/fa/document/catalog/lvsw/sh3539/sh3539f0409.pdf

(2) 欠相状態の三相誘導電動機等価回路
三相誘導電動機欠相電流の計算は簡単ではない。三相誘導電動機の負荷トルクが小さければ、単相電源でも回転するといわれています。
試験問題に出てくるような等価回路を欠相電流の計算に用いても、ベクトル要素を含んでいないため単相での回転現象を説明できません。
三相誘導電動機が単相でも回転する現象を説明するためには、回路電流を正相分と逆相分のベクトルで考える必要があります。

対称座標法による正相分と逆相の計算

(1) 正相分電流とトルク
正相分電流：$\ I_{a1} = \displaystyle \frac{ V_{a1} }{\Bigl( r_{1} + \displaystyle \frac{ r_{2} }{ s }\Bigr) + j(x_{1}+x_{2})} \ 〔A〕 $
正相分トルク：$\ T_{1} = \displaystyle \frac{ 3V_{a1}^2 \times \Bigl( \displaystyle \frac{ r_{2} }{ s } \Bigr) \times p}{ 4\pi \cdot f \Biggl( \Bigl( \displaystyle \frac{ R_{2} }{ s } + r_{1} \Bigr)^2 + (x_{1}+x_{2})^2 \Biggr)} \ 〔Nm〕 $

(2) 逆相分電流とトルク
逆相分電流：$\ I_{a2} = \displaystyle \frac{ V_{a2} }{\Bigl( r_{1} + \displaystyle \frac{ r_{2} }{ 2-s }\Bigr) + j(x_{1}+x_{2})} \ 〔A〕 $
逆相分トルク：$\ T_{2} = \displaystyle \frac{ 3V_{a1}^2 \times \Bigl( \displaystyle \frac{ r_{2} }{ s } \Bigr) \times p}{ 4\pi \cdot f \Biggl( \Bigl( \displaystyle \frac{ R_{2} }{ 2-s } + r_{1} \Bigr)^2 + (x_{1}+x_{2})^2 \Biggr)} \ 〔Nm〕 $

(3) 各相の線電流

a 相の線電流：Ia ＝ Ia1 ＋ Ia2 ＝  0  b 相の線電流：Ib ＝ Ib1 ＋ Ib2 ＝ a2 Ia1 ＋a Ia2 ＝ －Ic  c 相の線電流：Ic ＝ Ic1 ＋ Ic2 ＝ a Ia1 ＋a2 Ia2 • a ＝ －  1  2 ＋ j  √3  2 • a2 ＝ －  1  2 － j  √3  2

(4) 零相電流、正相電流、逆相電流を求める （相順： a 相 → b 相 → c 相 … ）

(5) 零相電圧、正相電圧、逆相電圧を求める （相順： a 相 → b 相 → c 相 … ）

(6) 零相インピーダンス、正相インピーダンス、逆相インピーダンスを求める
• 零相インピーダンス Z₀ ＝ 0。

正相電流も逆相電流も同じ電流（ I_b ）なので、正相インピーダンスも逆相インピーダンスも直列に接続されていると考えます。
絵に描くと単相電源に正相インピーダンスと逆相インピーダンスが直列になっています。留意する点は、アドミタンス Y が直列に接続されていること。アドミタンスはインピーダンスの逆数なので、アドミタンスが 2 倍になるということは、励磁電流が 2 倍になると同じ意味です。

正相回路出力の分母と逆相回路出力の分母がちがいます。
電動機のすべりの程度によっては、正相出力（回転トルク）と逆相出力（ブレーキ）にアンバランスが生じ、単相でも電動機は回転を継続します。

(7) この内容は、Pumpkin の勝手な推測です
三相誘導電動機運転中に欠相になったとき、励磁電流は 2 倍になるので負荷電流も 2 倍になるはずです。しかし、三菱電機のサーマルリレーの技術資料も富士電機のサーマルリレーの資料も負荷電流は 1.5 倍と書いています。恐らく正相トルクに対して逆相トルクがブレーキとなって、回転トルク（負荷電流）を抑制しているものと考えられます。（追記：三相電源の励磁回路の相電圧と、単相電源の励磁回路の相電圧が違う。）

三相誘導電動機のすべりが大きくなると指数関数的に回転トルクが減少し電動機は停止します。負荷トルクが単相停動トルクよりも小さい場合は、適当なすべりを維持したまま回転を継続します。三相誘導電動機の抵抗分やリアクタンス分などの細かなデータがあると、単相運転で負荷電流が 1.5 になる理由がわかると思います。現時点では、メーカーのカタログや技術資料からそれを推測することは無理なようです。

(8) 三相誘導電動機の三角結線（ 5.5kW 以上）の欠相事故で、負荷トルクが小さい場合にサーマルリレーで検出できないことがあります。
（ 非常に限定的現象）
非常に狭い限定的な現象のために 2E 3 素子を使用するのはもったいないと思います。負荷トルクが単相停動トルクよりも大きい場合は、
電動機は停止して、始動電流の約 1.5 ～ 2 倍程度の拘束電流が流れるので標準品の 2E 2 素子のサーマルリレーで欠相検出は可能になります。